Matematica On Line - Algebra,Geometrie,Analiza

Recapitulare GEOMETRIE de clasa a VII-a

marți, 28 septembrie 2010

SINTEZA GEOMETRIEI de clasa a VII-a

marți, 14 septembrie 2010

Joaca SuDoKu ONLINE
Se folosesc tastele cu cifre care se afla pe tastatura deasupra literelor.

joi, 10 iunie 2010

MANUAL GEOMETRIE CLASA A 7 A

ARII - TRIUNGHIURI SI PATRULATERE -- CLASA a VII-a

duminică, 24 ianuarie 2010

duminică, 3 ianuarie 2010

⋂

II. Mulţimi

Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {xRx2 – 3x + 2 = 0}).
Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,…
Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã aA şi se citeşte “a aparţine lui A”.
Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea care nu are nici un element. Se noteazã cu .

II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B:
(A = B)  (xA  xB) şi (yB  yA)
Proprietãţile egalitãţii:
1.  A, A = A (reflexivitatea);
2. (A = B)  (B = A) (simetria);
3. (A = B  B = C)  (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B:
(A  B)  (xA  x B)
Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B.
Proprietãţile incluziunii:
1.  A, A  A (reflexivitatea);
2. (A  B)  (B  A)  (A = B) (antisimetria);
3. (A  B  B  C)  (A  C) (tranzitivitatea);
4.  A,   A
Relaţia de neincluziune se noteazã A  B.

II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B:
A  B = {xxA  xB}
Proprietãţile reuniunii:
1.  A, B: A  B = B  A (reflexivitatea);
2.  A, B, C: (A  B)  C) = A  (B  C) (asociativitatea);
3.  A: A  A = A (idempotenţa);
4.  A: A   = A;
5.  A, B: A  A  B, B  A  B.

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B:
A  B = {xxA  xB}
Proprietãţile intersecţiei:
1.  A, B: A  B = B  A (comutativitatea);
2.  A, B, C: (A  B)  C = A  (B  C) (asociativitatea);
3.  A: A  A = A (idempotenţa);
4.  A: A   = 
5.  A, B: A  B  A, A  B  B
6.  A, B, C: (A  B)  C = (A ⋂ C)  (B ⋂ C) (distributivitatea intersecţiei faţã de reuniune);
7.  A, B, C: (A  B)  C = (A  C)  (B  C) (distributivitatea reuniunii faţã de intersecţie);
8.  A, B: A  (A  B) = A, A  (A  B) = A (absorbţia).

Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A  B = .

II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:
A \ B = {xxA  xB}
Proprietãţile diferenţei:
1.  A: A \ A = ;
2.  A, B, C: (A \ B)  C = (A  C) \ (B  C);
3.  A, B: A \ B = A \ (A  B);
4.  A, B: A = (A  B)  (A \ B);
5.  A, B, C: A \ (B  C) = (A \ B) \ C;
6.  A, B, C: A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C);
7.  A, B, C: (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C);
8.  A, B, C: (A  B) \ C = A  (B \ C) = (A \ C)  B.

II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:
A  B = (A \ B)  (B \ A)
Proprietãţile diferenţei simetrice:
1.  A: A  A = ;
2.  A, B: A  B = B  A (comutativitatea);
3.  A: A   =   A = A;
4.  A, B, C: (A  B)  C = A  (B  C) (asociativitatea);
5.  A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C);
6.  A, B: A  B = A  B \ (A  B)

II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E:
(A fiind o parte a lui E, adicã AE)
CEA = {xxE  xA}
Proprietãţi: (A, BE)
1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii);
2. CEA = E \ A;
3. CE = E;
4. CEE = ;
5. A  CEA = A (principiul exluderii terţiului);
6. A  CEA =  (principiul necontradicţiei);
7. A  B  CEB  CEA;
8. A \ B = CE(A  B).

II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE)
CE(A  B) = CEA  CEB; CE(A  B)= CEA  CEB.
II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B:
A x B = {(a,b)aA  bB}
Proprietãţile produsului cartezian ( A,B,C,D avem):
1. A x B  B x A, dacã A  B;
2. (A x B)  (A x C) = A x (B  C);
3. (A  B) x C = (A x C)  (B x C);
4. (A  B) x C = (A x C)  (B x C);
5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;
6. (A  B) x (C  D) = (A x C)  (B x D)
Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie de la A la B.
Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E =  sau dacã existã nN, astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}.
Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R.
Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale.
Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.
Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0, cardinalul mulţimii {1,2,…,n} cu nN, senoteazã cu n, iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero).
Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci:
A  B = A + B -A  B 
Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci:
A  B  C= A +B +C - A  B - A  C - B  C + A  B C

MANUAL GEOMETRIE CLASA A-8-A - TEORIE,PROBLEME,REZOLVARE

CUPRINS
PUNCTE,DREPTE,PLANE

Introducere

Propozitii despre puncte, drepte si plane

Determinarea planului

Pozitii relative ale dreptelor si planurilor in spatiu

Pozitii relative a doua drepte in spatiu

PROBLEME 1

Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan

Pozitiile relative a doua plane

Cateva teoreme de paralelism

PROBLEME 2

Pozitiile relative a 3 plane

PROBLEME 3

Alte teoreme de parallelism

PROBLEME 4

Perpendicularitate in spatiu

Drepte perpendiculare

Dreapta perpendiculara pe un plan

PROBLEME 5

Teorema celor trei perpendiculare

PROBLEME 6

Plane perpendiculare

Perpendiculara comuna a doua drepte

Perpendicularitate si parallelism

Perpendiculare si oblice. Distanta de la un punct la un plan

PROBLEME 7

Proiectii

Proiectii pe un plan

PROBLEME 8

Unghiul a doua plane

Unghiul unei drepte cu un plan

Unghiuri diedre

PROBLEME 9

POLIEDRE PARTICULARE

Tetraedru

PROBLEME 10

Prisma

PROBLEME 11

Paralelipiped

PROBLEME 12

Volumul unei prisme tringhiulare

PROBLEME 13

Piramida

Volumul piramidei

PROBLEME 14

Trunchi de piramida

Volumul trunchiului de piramida

PROBLEME 15

Poliedre convexe in general

TRANSFORMARI IN SPATIU

Simetria fata de un punct

Simetria fata de o dreapta

Simetria fata de un plan

Translatie in spatiu

Rotatie in jurul unei axe

Centru, axa, plan de simetrie ale unei multimi de puncte

PROBLEME 17

SUPRAFETE SI CORPURI ROTUNDE

Generalitati. Consideratii intuitive

Cilindri circulari

Panze conice circulare

Sfera

Tangenta suprafetelor curbe

PROBLEME 18

Volumele si ariile corpurilor rotunde

Volumul cilindrului

Volumul conului

Aria laterala a cilindrului si a conului

Aria laterala a cilindrului drept

Aria laterala a conului circular drept

Aria si volumul trunchiului de con circular drept

Aria sferei

Volumul sferei

PROBLEME 19

PROBLEME RECAPITULATIVE

INDICATII SI RASPUNSURI

ALGEBRÃ

miercuri, 9 decembrie 2009

Elemente de logicã matematicã

Mulţimi
Relaţii binare
Funcţii
Operaţii cu numere reale
Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi
Numere complexe
Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea
Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V
Logaritmi
Metoda inducţiei matematice
Analizã combinatorie
Progresii
Polinoame
Permutãri, matrici, determinanţi
Sisteme lineare
Structuri algebrice