duminică, 3 ianuarie 2010

II. Mulţimi

Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {xRx2 – 3x + 2 = 0}).
Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,…
Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã aA şi se citeşte “a aparţine lui A”.
Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea care nu are nici un element. Se noteazã cu .



II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B:
(A = B)  (xA  xB) şi (yB  yA)
Proprietãţile egalitãţii:
1.  A, A = A (reflexivitatea);
2. (A = B)  (B = A) (simetria);
3. (A = B  B = C)  (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B:
(A  B)  (xA  x B)
Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B.
Proprietãţile incluziunii:
1.  A, A  A (reflexivitatea);
2. (A  B)  (B  A)  (A = B) (antisimetria);
3. (A  B  B  C)  (A  C) (tranzitivitatea);
4.  A,   A
Relaţia de neincluziune se noteazã A  B.

II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B:
A  B = {xxA  xB}
Proprietãţile reuniunii:
1.  A, B: A  B = B  A (reflexivitatea);
2.  A, B, C: (A  B)  C) = A  (B  C) (asociativitatea);
3.  A: A  A = A (idempotenţa);
4.  A: A   = A;
5.  A, B: A  A  B, B  A  B.

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B:
A  B = {xxA  xB}
Proprietãţile intersecţiei:
1.  A, B: A  B = B  A (comutativitatea);
2.  A, B, C: (A  B)  C = A  (B  C) (asociativitatea);
3.  A: A  A = A (idempotenţa);
4.  A: A   = 
5.  A, B: A  B  A, A  B  B
6.  A, B, C: (A  B)  C = (A ⋂ C)  (B C) (distributivitatea intersecţiei faţã de reuniune);
7.  A, B, C: (A  B)  C = (A  C)  (B  C) (distributivitatea reuniunii faţã de intersecţie);
8.  A, B: A  (A  B) = A, A  (A  B) = A (absorbţia).

Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A  B = .

II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:
A \ B = {xxA  xB}
Proprietãţile diferenţei:
1.  A: A \ A = ;
2.  A, B, C: (A \ B)  C = (A  C) \ (B  C);
3.  A, B: A \ B = A \ (A  B);
4.  A, B: A = (A  B)  (A \ B);
5.  A, B, C: A \ (B  C) = (A \ B) \ C;
6.  A, B, C: A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C);
7.  A, B, C: (A  B) \ C = (A \ C)  (B \ C);
8.  A, B, C: (A  B) \ C = A  (B \ C) = (A \ C)  B.

II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:
A  B = (A \ B)  (B \ A)
Proprietãţile diferenţei simetrice:
1.  A: A  A = ;
2.  A, B: A  B = B  A (comutativitatea);
3.  A: A   =   A = A;
4.  A, B, C: (A  B)  C = A  (B  C) (asociativitatea);
5.  A, B, C: A  (B  C) = (A  B)  (A  C);
6.  A, B: A  B = A  B \ (A  B)

II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E:
(A fiind o parte a lui E, adicã AE)
CEA = {xxE  xA}
Proprietãţi: (A, BE)
1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii);
2. CEA = E \ A;
3. CE = E;
4. CEE = ;
5. A  CEA = A (principiul exluderii terţiului);
6. A  CEA =  (principiul necontradicţiei);
7. A  B  CEB  CEA;
8. A \ B = CE(A  B).

II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE)
CE(A  B) = CEA  CEB; CE(A  B)= CEA  CEB.
II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B:
A x B = {(a,b)aA  bB}
Proprietãţile produsului cartezian ( A,B,C,D avem):
1. A x B  B x A, dacã A  B;
2. (A x B)  (A x C) = A x (B  C);
3. (A  B) x C = (A x C)  (B x C);
4. (A  B) x C = (A x C)  (B x C);
5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;
6. (A  B) x (C  D) = (A x C)  (B x D)
Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie de la A la B.
Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E =  sau dacã existã nN, astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}.
Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R.
Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale.
Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.
Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0, cardinalul mulţimii {1,2,…,n} cu nN, senoteazã cu n, iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero).
Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci:
A  B = A + B -A  B 
Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci:
A  B  C= A +B +C - A  B - A  C - B  C + A  B C

0 comentarii:

Trimiteți un comentariu